Note 2
3.1 - Generalizzare il Calcolo Differenziale

Lo spazio euclideo è l'archetipo di tutte le varietà;
non solo è il più semplice, ma localmente ogni varietà assomiglia a , per definizione.

Lo spazio euclideo è speciale perché dispone delle coordinate globali standard date da .
Questo è un vantaggio, perché tutte le costruzioni su possono essere definite in termini delle coordinate standard e tutti i calcoli possono essere eseguiti esplicitamente;
è di contro uno svantaggio, perché spesso non è ovvio quali concetti definiti in termini di coordinate siano intrinseci, cioè indipendenti da queste.
Poiché una varietà in generale non ha coordinate standard, hanno senso solo questi concetti intrinseci.

L'obiettivo che ci poniamo è riformulare l'analisi ordinaria su in modo libero dalle coordinate, adatto
alla generalizzazione alle varietà.

Le varie classi di differenziabilità sullo spazio euclideo
...

Il calcolo delle funzioni sarà il nostro principale strumento per lo studio delle varietà di dimensioni superiori;
per questo motivo, inizieremo con un'analisi di queste funzioni.

Prima di tutto, richiamiamo velocemente le definizioni delle varie classi di differenziabilità.

Definizione 3.1.1 (Classi di differenziabilità).

Sia aperto, e sia .

​
Una funzione a valori reali è detta di classe in quando è continua in .

Dato un intero , si dice che è di classe in quando le sue derivate parziali di tutti gli ordini esistono e sono continue in .

Si dice che è di classe (o liscia) in se è di classe per ogni ;
in altre parole, le sue derivate parziali di tutti gli ordini esistono e sono continue in .

​
Una funzione a valori vettoriali è detta di classe in (con intero o ), quando tutte le sue funzioni componente sono di classe in .

​
Diciamo infine che è di classe su (con intero o ) quando è di classe in ogni punto di .

​
Dalla definizione segue che implica per ogni , e implica se o ;
le implicazioni inverse non valgono.

Esempio 3.1.2 (Controesempi alle implicazioni inverse).

La funzione definita ponendo è di classe ma non , non essendo derivabile in .
Considerando le primitive successive di questa funzione, troviamo quindi esempi di funzioni di classe ma non per ogni intero.

Le funzioni elementari (polinomi, seno, coseno, esponenziali) sono tutte di classe su tutto .

Funzioni analitiche
...

Un'altra classe di differenziabilità è data dalle cosiddette funzioni analitiche.

Definizione 3.1.3 (Funzione analitica).

Sia aperto, e sia .

Una funzione a valori reali si dice analitica (o di classe ) in quando esiste un intorno di in cui coincide con la sua serie di Taylor in :

Una funzione a valori vettoriali si dice analitica in quando tutte le sue funzioni componente sono di classe in .

Diciamo infine che è analitica su quando è analitica in ogni punto di .

​
Una funzione analitica è necessariamente ;
infatti è noto dall'analisi ordinaria che una serie di potenze convergente si può derivare un numero arbitrario di volte nella sua regione di convergenza, e le derivate sono ottenute derivando i vari addendi.

Ad esempio, se
allora la derivazione termine a termine dà

Anche in questo caso, non è detto che una funzione sia analitica.

Esempio 3.1.4 (Di funzione liscia, non analitica).

Si trova che la funzione definita ponendo
è di classe , e si trova che per ogni intero.

Ma allora, la sua serie di Taylor in è la serie identicamente nulla, che non coincide con in alcun intorno destro di ;
pertanto, non è analitica.

​

Il lemma di Hadamard
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Anche se una funzione non è necessariamente uguale alla sua serie di Taylor, esiste un teorema di Taylor con il resto, che vale addirittura per funzioni , che è spesso sufficiente per i nostri scopi. Nella seguente proposizione dimostriamo il caso più semplice, in cui la serie di Taylor consiste solo nel termine costante .

Ricordiamo che un insieme si dice stellato rispetto a un punto quando, per ogni , il segmento rettilineo è contenuto in .

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Proposizione 3.1.5 (Lemma di Hadamard).

Sia stellato rispetto a un punto ;
sia una funzione di classe su , con intero oppure .

Esistono funzioni (con la convenzione che e ) tali che:​

  • per ogni ;
  • .

Dimostrazione

Essendo stellato è stellato rispetto a , per ogni risulta ben definita la mappa .

Notiamo per prima cosa che

Riscriviamo ora la derivata che figura nell'integrale;
abbiamo pertanto, possiamo riscrivere l'espressione precedente così: che vale per ogni .

​
Definiamo allora le funzioni al variare di , ponendo La prima condizione è soddisfatta;
da una veloce ispezione della legge si vede che anche il secondo punto è verificato.

Notiamo che imporre stellato è meno restrittivo di quanto sembra;
difatti ogni intorno sferico / cubico aperto è stellato rispetto al centro (addirittura convesso).

Lo spazio delle funzioni differenziabili
...

Prendiamo un aperto non vuoto, e definiamo il seguente insieme:
con intero oppure .

Su questo insieme possiamo definire tre operazioni principali:

  • Somma tra funzioni: ;
  • Prodotto per un numero reale: ;
  • Prodotto tra funzioni: .

Con queste operazioni, è una -algebra commutativa, associativa e unitaria;
diventa cioè un -spazio vettoriale rispetto alle prime due operazioni, e un anello commutativo e unitario rispetto alla prima e alla terza.
L'unità dell'anello è la funzione costante .

Table Of Contents

3.1 - Generalizzare il Calcolo Differenziale

Le varie classi di differenziabilità sullo spazio euclideo

Funzioni analitiche

Il lemma di Hadamard

Lo spazio delle funzioni differenziabili