Lo spazio euclideo
non solo è il più semplice, ma localmente ogni varietà assomiglia a
Lo spazio euclideo è speciale perché dispone delle coordinate globali standard date da
Questo è un vantaggio, perché tutte le costruzioni su
è di contro uno svantaggio, perché spesso non è ovvio quali concetti definiti in termini di coordinate siano intrinseci, cioè indipendenti da queste.
Poiché una varietà in generale non ha coordinate standard, hanno senso solo questi concetti intrinseci.
L'obiettivo che ci poniamo è riformulare l'analisi ordinaria su
alla generalizzazione alle varietà.
Il calcolo delle funzioni
per questo motivo, inizieremo con un'analisi di queste funzioni.
Prima di tutto, richiamiamo velocemente le definizioni delle varie classi di differenziabilità.
Sia
Una funzione a valori reali
Dato un intero
Si dice che
in altre parole, le sue derivate parziali
Una funzione a valori vettoriali
Diciamo infine che
Dalla definizione segue che
le implicazioni inverse non valgono.
La funzione
Considerando le primitive successive di questa funzione, troviamo quindi esempi di funzioni di classe
Le funzioni elementari (polinomi, seno, coseno, esponenziali) sono tutte di classe
Un'altra classe di differenziabilità è data dalle cosiddette funzioni analitiche.
Sia
Una funzione a valori reali
Una funzione a valori vettoriali
Diciamo infine che
Una funzione analitica è necessariamente
infatti è noto dall'analisi ordinaria che una serie di potenze convergente si può derivare un numero arbitrario di volte nella sua regione di convergenza, e le derivate sono ottenute derivando i vari addendi.
Ad esempio, se
Anche in questo caso, non è detto che una funzione
Si trova che la funzione
Ma allora, la sua serie di Taylor in
pertanto,
Anche se una funzione
Ricordiamo che un insieme
Sia
sia
Esistono funzioni
Dimostrazione
Essendo
Notiamo per prima cosa che
Riscriviamo ora la derivata che figura nell'integrale;
abbiamo
Definiamo allora le funzioni
da una veloce ispezione della legge si vede che anche il secondo punto è verificato.
Notiamo che imporre
difatti ogni intorno sferico / cubico aperto è stellato rispetto al centro (addirittura convesso).
Prendiamo
Su questo insieme possiamo definire tre operazioni principali:
Con queste operazioni,
diventa cioè un
L'unità dell'anello è la funzione costante